利用数形结合思想解决不等式问题

李伟

(大庆实验中学,黑龙江大庆163316)

摘要:运用数形结合思想解决有关不等式的问题,是把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合,将数量关系和空间形式巧妙转化,可以使许多抽象概念和关系直观而形象,有利于解题途径的探求,使问题得到解决。运用这一数学思想,要熟练掌握相关概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。本文结合具体示例展示了数形结合思想在不等式问题解决过程中的多种应用。

关键词:解不等式;平面区域;证明不等式;参变量

中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1005-6351(2013)-11-0054-02

不等式的知识渗透在数学中的各个分支,可以说与高中数学的各个章节都有着千丝万缕的联系。不等式是解决数学问题的一个强有力的工具,集合问题、方程(组)的解的讨论、函数单调性的研究、函数定义域的确定、各种类型的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系。也正是这个原因使得不等式问题的求解方法灵活多样,除了应用不等式本身的性质进行等价转化、分类讨论以外,还可以运用数形结合的思想赋予不等式相应的几何特征,借助于图形的性质,可以使抽象的数量关系变得直观而形象,常常有事半功倍的效果,下面就以几个简单的例子作为说明。

一、解不等式

典型示例1:解关于x的不等式-b<1x<a,其中a>0,b>0.

解:画出函数y=1x的图像,容易知道f(1-b)=-b

f(1a)=a ,即得不等式的解集为xx>1a ,或x<-1b.

二、确定不等式表示的平面区域

典型示例2:p:x>1

y>1 ①成立是q:x+y>2

xy>1 ②成立的条件?

解:由线性规划可知不等式组②确定的区域是a,不等式组①确定的区域是b,

显然,命题p成立是命题q成立的充分不必要条件.

典型示例3:已知1≤x-y≤2①且2≤x+y≤4②,求4x-2y的取值范围.

解:由线性规划知识可知满足限制条件①和②的点(x,y)构成图4区域a,设4x-2y=k,则当直线4x-2y=k经过A点时k取得最小值5,当直线4x-2y=k经过B点时k取得最大值10.

注:此题有一错误解法,即由1≤x-y≤2

2≤x+y≤4 解得32≤x≤3③且0≤y≤32④,再由③×4+④×(-2)得3≤4x-2y≤12.事实上,满足限制条件③和④的点(x,y)构成图5区域b,显然区域b大于区域a,所以扩大了限制条件的范围而导致出错。

三、证明不等式

典型示例4:已知函数f(x)=x-1(x-1)2+1+32,x∈R,证明当x≠2时,f(x)-f(2)<x-2.

解:要证明f(x)-f(2)<x-2,只需证f(x)-f(2)x-2<1,即x-22(x-1)2+1<1.

在同一坐标系中画出函数s(x)=2(x-1)2+1和r(x)=x-2,由图像6可知s(x)>r(x)≥0恒成立.

事实上,当x≤2时,s(x)-r(x)=2(x-1)2+1--(x-2)=2(x-34)2+78>0,当 x≥2时,s(x)-r(x)=2(x-1)2+1-(x-2)=2(x-54)2+238>0.故得证.

四、求不等式中的参变量

典型示例5:已知关于x的不等式4x-x2>ax的解集为x0<x<2,求a的值.

解:由于4x-x2>ax的解集是x0<x<2,故方程4x-x2=ax的两根为0和2,即函数y=4x-x2与函数y=ax交点的横坐标分别为0和2.在同一直角坐标系中画出函数y=4x-x2与函数y=ax的图像,只能如图7所示,故a=1.

典型示例6:已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),g(x)=2x2-4x-16,并且f(x)≤g(x)对x∈R恒成立,求a、b.

解:在直角坐标系中画出函数s(x)=g(x)=2x2-4x-16的图像,如图8所示,可知g(-2)=g(4)=0 ,由于f(x)≤g(x)对x∈R恒成立,故f(-2)=f(4)=0,所以-2+4=-a

-2×4=b ,即a=-2,b=-8.

此时,f(x)=x2-2x-8=12g(x),符合题意.

浏览次数:  更新时间:2016-02-16 17:42:39
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