论二次函数应用的关键

江苏省仪征市陈集中学 童建福

从学生的角度来说,对二次函数的应用能反应出学生数学思维的发散性和缜密性。从数学知识结构的角度来说,二次函数除了作为重要的知识点,还肩负着联系其他知识点的重要作用。因此,二次函数的深入研究对学生、对数学教学都有非常重要的意义。

一、抓住函数概念的关键

函数的概念最早在初中阶段就有提出,到了高中阶段有了进一步的延伸。由最基础的定义延伸到集合映射的概念。集合和映射的知识是作为基础知识,为后面学习函数的概念做铺垫。学生对函数的理解可以上升为集合间的映射,二次函数则是两个集合间映射的典型例子,成为了高中数学的重点研究对象。

二次函数用映射的概念来解释是:从集合A到集合B上的映射f:A→B,使得集合B中的任意元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X一一对应,记为:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中集合A为定义域,集合B为值域,ax2+bx+c为对应法则,又可以表示集合A中的任意元素X在集合B中的像。这样的定义,让学生对二次函数有了更清晰的认识。教师可以设计若干例题来加深学生的理解,捉住二次函数概念的关键。比如以下两题:

例1:若f(x)=3x2+2x+1,求f(x+2);

例2:已知f(x+1)=x2-4x+1,求f(x)。

在例1中,教师应引导学生不能错误的把f(x+2)简单地理解为x=x+2时的值,而应该理解为自变量为x+2的函数值。

在例2中是对函数概念的一个延伸应用,学生对这种题目会比较疑惑,学生可以理解为在对应法则f下,元素x+1的像是x2-4x+1,求定义域中元素X的像,其实就是求对应法则。一种解法是:把原式进行变形,凑成x+1的多项式,f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再把x+1代换成X得:f(x)=x2-6x+6;另一种解法是:用变量代替法,设t=x+1,则x=t-1,由原式得f(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6,所以 f(x)=x2-6x+6。

二、抓住二次函数性质的关键

在高中阶段,二次函数的性质主要包括函数的单调性、最大最小值和奇偶性,这些性质和函数图像是高考的常见考点,要求学生牢固掌握这部分内容。教师一方面要求学生对这些性质能在理论层面进行严格的推理,另一方面要学会用图像的直观性来加深对函数性质的理解。

例如,在学习高中数学苏教版必修一第二章《函数概念与基本初等函数》时,有关函数的单调性,要指导学生对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),在区间上用理论知识进行严格的推导,也要利用信息技术描绘出准确的二次函数图像给学生看,让他们对其图像有深刻的印象,以便做题时能灵活运用。再配合适当的例题进行讲解,帮助学生消化知识点,比如:

例3:用函数图像研究下列函数的单调性。

1.y=x2+2|x-2|-4;2.y=|x2-4|;3.y=x2+4|x|-2

例4:已知f(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]内的最小值为 g(t),求g(t)。

在例3中,教师要强调这几个函数的特点,并与二次函数做比较,注意相同点和不同点。引导学生用分段函数去表示含有绝对值的函数,再画出图像。

在例4中,教师首先应带领学生读懂题目,弄清题意。通常情况下,二次函数在实数范围内只有最小值或只有最大值,但要注意的是,当定义域变化时,最值情况也会随着变化,并要提醒学生分类讨论。参考如下解法:

三、抓住二次函数思维的关键

二次函数的内涵和外延都非常丰富,可以联系起数学上的多种知识点,对学生思维的发散性要求比较高。要引导学生多进行一题多解的思维训练,提高思维的敏捷度。面对一个问题时,应主动发散思维,从不同的角度去思考解题的方法,并比较不同方法间的优缺点,选择适当解题方法。比如:

由题意可得,一方面是因为f(x)=x,所以函数图像与直线y=x在第一象限内存在两个不同的交点;另一方面是由f(x)=ax2+bx+c(a>0)和f(x)-x=0可得ax2+(b-1)x+c=0,此方程的两个根为x1,x2,可以得到x1,x2与a,b,c的关系式。因此,教师可以引导学生发散思维往以下三个方向去思考解题:图像法;一元二次方程根与系数的关系;一元二次方程的求根公式和不等式。

确定解题思路后,教师让学生尝试用三种方法去解题,引导学生讨论三种方法的优缺点,再选择其中一种做详细讲解。这里以第二种思路为例:

总而言之,二次函数作为最基本的幂函数,具有一定的代表性,它联系了方程、映射、集合、函数、不等式等知识点,不仅考察了学生的数学知识储备和数学运算能力,还考察了学生的思维发散性,是一类非常值得深入研究的题型。只要教师能带领学生捉住二次函数的关键,定能对学生的成绩有较大的提高。

参考文献

[1]周小峰.高中二次函数的教学探微[J].考试教研版,2010,(4):15.

[2]周建涛.浅谈二次函数在高中阶段的应用[J].数学与教学通讯,2011,(12):10.

(责任编辑:陈颖颖)

浏览次数:  更新时间:2016-02-16 16:42:56
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