2011江苏高考数学卷第18题的多种证法及其推广探讨

文 王金玲

【摘 要】 近年来江苏几乎每年都会出关于圆锥曲线的定点及其定值的考题,因为其涉及到了众多的数学知识点,可以用多种思路、方法进行解答。本文针对2011江苏高考数学卷第18题的证法及其数学价值进行分析。

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关键词 江苏高考;数学;证法

虽然2011年的高考已经过去了三年,但是也为今后的数学教学指明了方向。圆锥曲线的定点、定值的问题涉及了几何、代数、向量以及三角等多个方面的知识,因此有多种求解的思路与方法,能够对答题者的素质、能力进行较好的检测,因此这也是历年考题都会出现的类型,在日常数学教学过程中应当注重此类题目的教学。现笔者针对2011江苏高考数学卷第18题的证法进行分析, 尽可能的挖掘其数学价值。

一、一道试题的多种证法

2011江苏高考数学卷第18题的题干如下:如图1所示,在平面直角坐标系xOy中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k。(1)(2)略;(3)对任意k>0,求证PA⊥PB。

证法一:设点法

由题意设点P的坐标为(x0,y0),A的坐标为(-x0,-y0),B的坐标为(x1,y1),则点C的坐标为(x0,0)。通过“A,C,B三点是共线”、“点P,点B两点均在椭圆上”,加以分析得出“PA⊥PB”。

证法二:直线法

将P、A、C以及直线AC采用代数式表示,通过带入法得出kPA·kPB=k·(-1/k)=-1,因此PA⊥PB。

证法三:几何转化法

点A的坐标为(x1,y1),B的坐标为(x2,y2),则中点N的坐标为(x0,y0),由此可得P的坐标为(-x1,-y1),C点的坐标为(-x1,0)。由“ACB三点共线”“点A,点B均在椭圆上”、“ON∥PB”,可得PA⊥PB。

本题考查的主要知识点为定值的问题,同时对学生解方程组的能力,运算求解以及共线问题的解答都有所涉及,是对学生数学综合性能力的考查。

二、同一试题的不同变法

根据本文所述试题,可以将条件和结论进行变更,从而得到新的命题。

命题一,假设PA⊥PB,将AB连接,交x轴于点C,则求证PC⊥AB。

命题二,求证kPB·kAB=-1/2。

三、同一试题的多种推广

1.命题二推广的不同方法

推论A:椭圆(a、b均>0且b<a),穿过(0,0)点的直线与椭圆相交,交点为A、P。点B为椭圆上不同于A、P两点的任意点,求证:kBA·kPB=-b2/a2。

四、解题思路的推广

根据上述分析不难发现,在同一题型、题目中,学生可以从多方面展开思考, 通过不同的思维切入点找到解题关键。事实上,数学这门学科本就是辩证思维的过程,同一题目,学生所用的方式、思维习惯不同,表现出的解题思路便会有所差异。一道好的数学题本应如此,让学生可从多角度着手,在无限与有限、退与进、整体与局部中逐步探索,发现试题以及解题思路中的变化。

由此,作为一名高中数学教师,在日常教学中也应注重学生解题思维的培养,一道题目不再单纯采用同一方式讲解,而应激发学生思维,对学生展开引导性教育。目前教学上存在一个弊端,即在讲解某一知识点时,会用当下的新知识点解题,没有重视解题对以往知识的综合性运用。根据本次研究不难发现,一道题目在解题思路上可呈多样化,教师在教学中也应借鉴这一高考题,引导学生在不同思路下解题,达到发散学生思维、综合运用知识的效果。

五、结论

本文主要针对江苏省2011年高考数学试题中的某一典型题展开研究,通过分析其多种解题方法、不同解题思路,为今后教学以及对学生数学思维的培养提供帮助。根据资料以及笔者自身的经验可知,同一试题的证法可以是多种的,因此要求学生必须具备扎实的基本功,能够灵活的运用所学知识进行解答。与此同时,改变题目中的条件和结论就能够得到一个新命题,教师应当培养学生举一反三的能力。同一试题的讲解应当将其相关的推论,知识点等进行系统的讲解,使学生能够具备较好的综合素质。

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参考文献

[1]周弋林.高考数学命题中的竞赛数学背景研究[D].广州大学,2012

[2]刘彩萍.高考数学中数学思想方法的研究及启示[D].上海师范大学,2010

(作者单位:陕西师范大学

江苏丹阳第五中学)

浏览次数:  更新时间:2015-09-03 19:23:35
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